Question

设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸压变换．
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求伸压变换，再求出点的变换规律，代入4x-10y=1，从而求出方程；（2）由矩阵M的特征多项式，所以M的特征值为λ₁=1，λ₂=5，进而求出对应的特征向量．
解答：（1）．设（x'，y'）是所求曲线上的任一点，，
所以所以代入4x-10y=1得，4x'-2y'=1，
所以所求曲线的方程为4x-2y=1．
（2）矩阵M的特征多项式，
所以M的特征值为λ₁=1，λ₂=5．
当λ₁=1时，由Mα₁=λ₁α₁，得特征向量；
当λ₂=5时，由Mα₂=λ₂α₂，得特征向量．
点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．细