Question

如图，长方形框架ABCD-A′B′C′D′，三边AB、AD、AA′的长分别为6、8、3.6，AE与底面的对角线B′D′垂直于E．
（1）证明A′E⊥B′D′；
（2）求AE的长．

Answer 1

（1）证明：AA'⊥平面A'B'C'D'，∴AA'⊥B'D'．
又AE⊥B'D'，∴B'D'⊥平面AA'E，
因此B'D'⊥A'E
（2）解：A'B'•A'D'=A'E•B'D'（都是△A'B'D'面积的2倍）
∴6×8=A'E×，
∴A'E=4.8
∴AE=．
分析：（1）先由AA'⊥平面A'B'C'D'，可转化为AA'⊥B'D'，又AE⊥B'D'，由线面垂直的判断定理可得B'D'⊥平面AA'E，得证．
（2）先由等面积法A'B'•A'D'=A'E•B'D'求得A'E，再由勾股定理求得AE．
点评：本题主要考查长方体的结构特征，主要涉及了线线，线面，面面垂直的关系，以及基本量的关系．属中档题．