Question

在△OAB中，O为坐标原点，A（1，cosθ），B（sin θ，1），则△OAB的面积的取值范围是（　　）

• A．（0，1]
• B．[

  1

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C．[

  1

  4

  ，

  3

  2

  ]
• D．[

  1

  4

  ，

  3

  4

  ]

Answer 1

分析：根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，角θ如图所示，所以三角形AOB的面积就等于正方形OMPN的面积减去三角形OAM的面积减去三角形OBN的面积，再减去三角形APB的面积，分别求出各自的面积，利用二倍角的正弦函数公式得到一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域及角度的范围即可得到三角形面积最大值和最小值．

解答：解：如图单位圆O与x轴交于M，与y轴交于N，
过M，N作y轴和x轴的平行线交于P，
则S_△OAB=S_{正方形OMPN}-S_△OMA-S_△ONB-S_△ABP
=1-

1

2

（sinθ×1）-

1

2

（cosθ×1）-

1

2

（1-sinθ）（1-cosθ）
=

1

2

-

1

2

sincosθ=

1

2

-

1

4

sin2θ
因为θ∈R，2θ∈R，
所以当2θ=

π

2

即θ=

π

4

时，sin2θ最大，
三角形的面积最小，最小面积为

1

4

．
当2θ=-

π

2

即θ=-

π

4

时，sin2θ最小，
三角形的面积最大，最大面积为

3

4

．
△OAB的面积的取值范围是：[

1

4

，

3

4

]．
故选D．

点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式化简求值，利用运用数学结合的数学思想解决实际问题，掌握利用正弦函数的值域求函数最值的方法，是一道中档题．