Question

已知向量，满足=（-2sinx，cosx+sinx），=（cosx，cosx-sinx），函数，f（x）=•（x∈R）．
（I）将f（x）化成Asin（（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π的形式；
（Ⅱ）已知数列，求{a_n}的前2n项和S_2n．

Answer 1

解（Ⅰ）∵=（-2sinx，cosx+sinx），=（cosx，cosx-sinx），
∴=-2sinxcosx+（cos²x-sin²x）
=…（4分）
（Ⅱ）…（6分）
∵t=sin（nπ-）的最小正周期为T==2
∴n为奇数时，t=sin（nπ-）=；n为偶数时t=sin（nπ-）=-
因此，
…（8分）
又（2n-1）²-（2n）²=-4n+1…（10分）
所以
=
=
=…（12分）
分析：（I）根据向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换公式化简整理，即可得到；
（II）由（I）的结论，得，根据三角函数的周期，可得n为奇数时sin（nπ-）=；n为偶数时sin（nπ-）=-，因此S_2n=，结合等差数列的通项与求和公式，即可算出S_2n的表达式．
点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，求函数f（x）的表达式并依此求数列的前n项之和．着重考查了三角恒等变换、等差数列的通项与求和等知识，属于基础题．