Question

下列所有命题：
（1）过空间内任意一点，可以作一个和异面直线a，b都平行的平面；
（2）如果a，b是异面直线，过直线a有且只有一个平面和b平行；
（3）有两个侧面是矩形的平行六面体是直四棱柱；
（4）底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
（5）一个正棱锥的各个侧面都是正三角形，则它只能是正三棱锥、正四棱锥或正五棱锥．
其中真命题的序号是

 

．（填上所有真命题的序号）

Answer 1

分析：根据两条异面直线之间的关系知道第一个命题不正确，根据异面直线的公垂线唯一和直线与平面垂直的性质知道第二个命题正确，根据直四棱柱的定义与判定知第三个不正确，根据正三棱锥的定义知第四个命题不正确，根据正棱锥的性质得到第五个命题正确．

解答：解：经过空间任意一点不都可作唯一一个平面与两条已知异面直线都平行，
有时会出现其中一条直线在所作的平面上，故①不正确，
直线a和直线b的公垂线是唯一的，和直线a、直线b都垂直，设为l，则经过a与l垂直的平面α与经过b垂直于l的平面β互相平行，并且这样的平面α、β是唯一存在的，故②正确．
有相对的两个侧面都垂直于底面，而另外的两个侧面与底面不垂直的四棱柱不是直四棱柱，故③不正确
三棱锥的底面为等边三角形，设边长为

3

，若三条侧棱长分别为

2

、

3

、

3

，很明显各侧面都是等腰三角形，但是它不是正三棱锥，故④不正确
由正多边形的边长与半径的关系可知，正三角形、正方形和正五边形的边长大于半径，当边数大于或等于六时，边长小于或等于半径，作出正棱锥的高，再根据直角三角形斜边大于直角边，可知⑤正确．
故答案为：（2）（5）

点评：本题考查棱锥的结构特征，考查同时与异面直线平行的平面的特殊情况，考查线与面垂直的判定定理，本题是一个概念辨析问题．