Question

设F₁，F₂分别是椭圆E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F₁的直线l与E相交于A、B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．

Answer 1

分析：（1）由椭圆定义知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4，再由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，能够求出|AB|的值．
（2）L的方程式为y=x+c，其中c=

1-b2

，设A（x₁，y₁），B（x₁，y₁），则A，B两点坐标满足方程组

y=x+c x2+ y2 b2 =1

，化简得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b的大小．

解答：解：（1）由椭圆定义知|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4
又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，得|AB|=

4

3

（2）L的方程式为y=x+c，其中c=

1-b2

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点坐标满足方程组

y=x+c x2+ y2 b2 =1

．，
化简得（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0．
则x1+x2=

-2c

1+b2

，x1x2=

1-2b2

1+b2

．
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|=

2

|x2-x1|
即

4

3

=

2

|x2-x1|．
则

8

9

=(x1+x2)2-4x1x2=

4(1-b2)

(1+b2)2

-

4(1-2b2)

1+b2

=

8b4

(1+b2)2

．
解得b=

2

2

．

点评：本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．