Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）计算a₂，a₃，a₄，推测数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接由数列递推式结合首项求得a₂，a₃，a₄，并由前4项推测数列{a_n}的通项公式；
（2）分组后直接利用等比数列的前n项和得答案．

解答： 解：（1）由a₁=1，a_n+1=2a_n+1，得
a₂=2a₁+1=3，a₃=2a₂+1=7，a₄=2a₃+1=15．
由数列前4项猜测：an=2n-1；
（2）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2．

点评：本题考查了由数列的部分项推测数列的通项公式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．