Question

17．若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$是同一个平面α内的两个向量，则（　　）

• A． 平面α内任一向量$\overrightarrow{a}$，都有$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ，μ∈R）
• B． 若存在实数λ₁，λ₂，使λ₁$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ₂$\overrightarrow{{e}_{2}}$=0，则λ₁=λ₂=0
• C． 若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，则空间任一向量$\overrightarrow{a}$，都有$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ，μ∈R）
• D． 若$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，则平面任一向量$\overrightarrow{a}$，都有$\overrightarrow{a}$=λ$\overrightarrow{{e}_{1}}$+μ$\overrightarrow{{e}_{2}}$（λ，μ∈R）

Answer 1

分析 根据平面向量基本定理知，需满足$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，从而有平面α内的任意向量都可用$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$表示，而空间的任一向量不能用这两向量表示，从而判断出D正确．

解答 解：A．只有$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线时，才有$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow{{e}_{1}}+μ\overrightarrow{{e}_{2}}$，∴该选项错误；
B．若$\overrightarrow{{e}_{1}}=\overrightarrow{{e}_{2}}$，则由${λ}_{1}\overrightarrow{{e}_{1}}+{λ}_{2}\overrightarrow{{e}_{2}}=0$得到λ₁+λ₂=0，λ₁，λ₂可以不为0，∴该选项错误；
C．根据平面向量基本定理，$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线时，$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$只能表示平面α内任意的一个向量，而不能表示空间的任一向量；
∴该选项错误，D正确．
故选；D．

点评 考查平面向量基本定理所具备的条件：$\overrightarrow{{e}_{1}}，\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线，才对平面内任一向量$\overrightarrow{a}$都存在唯一的有序数对（λ，μ）来表示$\overrightarrow{a}$，要清楚向量加法的三角形法则和平行四边形法则．