Question

已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．

(1)求动点P所在曲线C的方程；

(2)直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；

(3)记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断            (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．

Answer 1

解　(1) 设动点为，                                                        1分

依据题意，有  

，

化简得．                                   3分

　　因此，动点P所在曲线C的方程是：．         …………4分

(2)  点F在以MN为直径的圆的外部．

理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示．                                  5分

联立方程组，可化为，

则点的坐标满足．                    7分

又、，可得点、．

点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．

因，，则=．9分

   于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．                          10分

(3)依据(2)可算出，，

则 

       

        ，

   

      

       ．                                     14分

所以，，即存在实数使得结论成立．                              15分

对进一步思考问题的判断：正确．                                           18分