Question

如图，棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

解：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（2）由（1）得．
设平面PCD的法向量为，
则，
即，
∴，
故平面PCD的法向量可取为
∴PA⊥平面ABCD，
∴为平面ABCD的法向量．
设二面角P﹣CD﹣B的大小为θ，依题意可得．
（3）由（1）得，
设平面PBD的法向量为，
则，即，
∴x=y=z，故可取为．
∵，
∴C到面PBD的距离为