Question

8．已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），且f（3）-f（2）=1．
（1）若f（3m-2）＜f（2m+5），求实数m的取值范围．
（2）求使f（x-$\frac{2}{x}$）=$lo{g}_{\frac{3}{2}}\frac{7}{2}$成立的x的值．

Answer 1

分析 （1）先根据对数的运算法则，求出a的值，再根据对数函数的单调性得到关于m的不等式组，解的即可，
（2）根据对数函数的运算性质，即可求出x的值．

解答 解：（1）函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），且f（3）-f（2）=1，
∴log_a3-log_a2=1，
∴log_a$\frac{3}{2}$=1，
∴a=$\frac{3}{2}$，
∵f（3m-2）＜f（2m+5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3m-2＞0}\\{2m+5＞0}\\{3m-2＜2m+5}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{2}{3}$＜m＜7，
∴实数m的取值范围为（$\frac{2}{3}$，7）．
（2）f（x-$\frac{2}{x}$）=$lo{g}_{\frac{3}{2}}\frac{7}{2}$，
∴$lo{g}_{\frac{3}{2}}$（x-$\frac{2}{x}$）=$lo{g}_{\frac{3}{2}}\frac{7}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{2}{x}＞0}\\{x-\frac{2}{x}=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，
解的x=-$\frac{1}{2}$或x=4．

点评 本题考查了对数的运算性质和对数函数的性质，属于基础题．