Question

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C与x轴正半轴于点P、Q，且=．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l：x+y+3=0相切，求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出Q点坐标，由F，A的坐标表示出，根据得出=0看，进而求得x，设P（x₁，y₁）根据求得x₁和y₁的表达式，把点P的坐标代入椭圆方程进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得．
（2）根据（1）中a和c的关系可知F和Q的坐标，△AQF的外接圆圆心和半径，进而根据求得a，进而根据a和b，c的关系求得b，则椭圆的方程可得．
解答：解：（1）设Q（x，0），由F（-c，0）A（0，b）知
∵，∴
设P（x₁，y₁），
得
因为点P在椭圆上，所以
整理得2b²=3ac，即2（a²-c²）=3ac，2e²+3e-2=0，故椭圆的离心率e=．

（2）由（1）知，
于是F（-a，0）Q，
△AQF的外接圆圆心为（a，0），半径r=|FQ|=a
所以，解得a=2，
∴c=1，b=，
所求椭圆方程为
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的前提的是熟练掌握椭圆的基本性质．