Question

某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P（亿元）和Q（亿元），它们与投资额t（亿元）的关系有经验公式P=

a

4

2t

，Q=

1

8

t，其中0＜a＜4，今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x（亿元），投资这两个项目所获得的总利润为y（亿元）．
（1）求y关于x的函数解析式：
（2）怎样投资才能使总利润的最大值？

Answer 1

分析：（1）根据总利润=甲项目所获利润+乙项目所获利润，列出函数关系式即可；
（2）利用换元将函数关系转化二次函数，利用二次函数的对称轴与定义域的位置关系分类讨论即可求得函数的最值，即得到答案．

解答：解：（1）根据题意，y=

a

4

2x

+

1

8

(5-x)，x∈[0，5]，a∈（0，4）．
（2）∵y=

a

4

2x

+

1

8

(5-x)，x∈[0，5]，a∈（0，4）．
∴令t=

2x

，则x=

t2

2

，且t∈[0，

10

]，
∴y=-

1

16

t2+

a

4

t+

5

8

=-

1

16

(t-2a)2+

5+2a

8

，对称轴为x=2a，
①若0＜2a≤

10

，即0＜a≤

10

2

时，
当t=2a时，y最大值=

5+2a

8

，此时x=

a2

2

；
②若2a＞

10

，即

10

2

＜a＜4时，函数在[0，

10

]上单调递增，
当t=

10

时，y最大值=

10

4

a，此时x=5．
综合①②，若0＜a≤

10

2

时，甲项目投资

a2

2

亿元，乙项目投资5-

a2

2

亿元，总利润的最大值是

5+2a

8

亿元，
若

10

2

＜a＜4时，甲项目投资5亿元，乙项目投资不投资，总利润的最大值是

10

4

a亿元．
答：当0＜a≤

10

2

时，甲项目投资

a2

2

亿元，乙项目投资5-

a2

2

亿元，总利润的最大值是

5+2a

8

亿元；当

10

2

＜a＜4时，甲项目投资5亿元，乙项目投资不投资，总利润的最大值是

10

4

a亿元．

点评：本题考查了函数在实际生产生活中的应用，解题的关键是能够根据题意合理的建立数学模型，再利用数学知识解决最值问题．本题涉及了应用换元法转化成二次函数求最值，对于二次函数的最值问题，一般从开口方向，对称轴与区间的位置关系进行处理．属于中档题．