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    用向量探索几何的性质：
    （1）在△ABC中，D是线段BC的中点，证明：
    AB
    +
    AC
    =2
    AD
    ；
    （2）把此结论推广到四面体：设四面体ABCD，点O是三角形BCD的重心，探究
    AB
    ，
    AC
    ，
    AD
    与
    AO
    的等量关系，并说明理由；
    （3）进一步探索，确定正n棱锥P-A1A2A3…An的底面多边形内一点O的位置，并写出向量：
    PA1
    、
    PA2
    、…、
    PAn
    与
    PO
    的等量关系．（不必证明）
    分析：（1）证明：在△ABC中，D是线段BC的中点，利用在两个三角形中：在三角形ABD和三角形ACD中利用向量加法的几何意义结合相反向量即可获证；
    （2）把此结论推广到四面体：设四面体ABCD，点O是三角形BCD的重心，则
    AB
    +
    AC
    +
    AD
    =3
    AO
    ；取BC的中点E，连DE，利用点O是三角形BCD的重心，结合三角形的重心定理及（1）中的结论，即可证得；
    （3）进一步探索，确定正n棱锥P-A1A2A3…An的底面多边形内一点O的位置，向量：
    PA1
    、
    PA2
    、…、
    PAn
    与
    PO
    的等量关系是：
    PA1
    +
    PA2
    +…+
    PAn
    =n
    PO
    ．
    解答：解：（1）证明：在△ABC中，D是线段BC的中点，
    在三角形ABD中，
    AD
    =
    AB
    +
    BD
    ，
    在三角形ACD中，
    AD
    =
    AC
    +
    CD
    ，
    两式相加得：2
    AD
    =
    AB
    +
    BD
    +
    AC
    +
    CD
    ，
    ∵
    BD
    =-
    CD
    ，
    ∴
    AB
    +
    AC
    =2
    AD

    （2）把此结论推广到四面体：
    设四面体ABCD，点O是三角形BCD的重心，则
    AB
    +
    AC
    +
    AD
    =3
    AO

    证明：取BC的中点E，连DE，∵点O是三角形BCD的重心，
    ∴
    DO
    =2
    OE
    ，
    在三角形ABC中，由（1）得：
    AB
    +
    AC
    =2
    AE
    ，∴
    AE
    =
    1
    2
    (
    AB
    +
    AC
    )    ，
    ∵
    DO
    =2
    OE
    ，∴
    AO
    =
    1
    3
    AD
    +
    2
    3
    AE
    ，
    ∴
    AO
    =
    1
    3
    AD
    +
    2
    3
    × 
    1
    2
    (
    AB
    +
    AC
    )    =
    1
    3
    (
    AD
    +
    AB
    +
    AC
    )
    即：
    AB
    +
    AC
    +
    AD
    =3
    AO
    ．
    （3）进一步探索，确定正n棱锥P-A1A2A3…An的底面多边形内一点O的位置，向
    量：
    PA1
    、
    PA2
    、…、
    PAn
    与
    PO
    的等量关系是：．（不必证明）
    PA1
    +
    PA2
    +…+
    PAn
    =n
    PO
    ．
    点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、归纳推理、向量加法的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
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