Question

(1)求与椭圆共焦点且过点(3,)的双曲线的方程;

(2)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线上两点P₁、P₂的坐标分别为(3,-4)、(,5),求双曲线的标准方程.

Answer 1

分析：

第(1)题由椭圆的方程确定焦点坐标,可求得c值,设双曲线方程为(a＞0,b＞0),用待定系数法,求得a、b;第(2)题可先设出标准方程,然后把P₁、P₂点坐标代入方程,联立方程组,求a²、b²的值.

解：(1)椭圆的焦点为(2,0),(-2,0),

设双曲线的方程为,则a²+b²=20.

又∵过点(3,),

∴

综上,得a²=20-2,b²=2,

∴双曲线方程为

(2)∵双曲线的焦点在y轴上,

∴设双曲线的标准方程为(a＞0,b＞0),                ①

∵点P₁、P₂在双曲线上,

∴点P₁、P₂的坐标适合方程①.

将(3,-4),(,5)分别代入方程①中,得方程组

将看作整体,解得

∴即双曲线的标准方程为

绿色通道：本题只要解得a²、b²即可得到双曲线的方程,不必求出a、b的值;在求解的过程中也可以用换元思想.