Question

（2011•西安模拟）某校设计了一个实验学科的实验考查：考生从6道备选题中一次性随机抽取3道，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可通过考查．已知6道备选题中，考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是

2

3

，且每题正确完成与否互不影响．
（Ⅰ）求考生甲通过实验考查的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两考生正确完成题数x₁，x₂的概率分布列；
（Ⅲ）试用统计知识分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲生要通过实验考查，就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道，由此能求出考生甲通过实验考查的概率．
（Ⅱ）由x₁=1，2，3，P(x1=1)=

C 1 4

C 3 6

=

1

5

，P（x₁=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，P（x₁=3）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，由此能求出甲考生正确完成题数x₁的概率分布列；x₂=0，1，2，3，且P(x2=0)=(1-

2

3

)3=

1

27

，P（x₂=1）=

C

1 3

•

2

3

•(1-

2

3

)2=

2

9

，P(x2=2)=

C

2 3

•(

2

3

)2•(1-

2

3

)=

4

9

，P(x2=3)=(

2

3

)3=

8

27

，由此能求出乙考生正确完成题数x₂的概率分布列．
（Ⅲ）分别求出Ex₁和Ex₂，Dx₁和Dx₂，由Ex₁=Ex₂，知甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．由Dx₁＜Dx₂，知x₁的取值比x₂的取值相对集中于均值2的周围，因此甲生的实际操作能力比乙生强．

解答：解：（Ⅰ）∵甲生要通过实验考查，就要正确完成所抽取3道题中的2道或3道，
∴所求概率p=

C 2 4 C 1 2 + C 3 4

C 2 6

=

4

5

．
（Ⅱ）∵x₁=1，2，3，
P(x1=1)=

C 1 4

C 3 6

=

1

5

，
P（x₁=2）=

C 2 4 C 1 2

C 3 6

=

3

5

，
P（x₁=3）=

C 3 4

C 3 6

=

1

5

，
∴甲考生正确完成题数x₁的概率分布列为

x1	1	2	3
P	1 5	3 5	1 5

∵x₂=0，1，2，3，且P(x2=0)=(1-

2

3

)3=

1

27

，
P（x₂=1）=

C

1 3

•

2

3

•(1-

2

3

)2=

2

9

，
P(x2=2)=

C

2 3

•(

2

3

)2•(1-

2

3

)=

4

9

，
P(x2=3)=(

2

3

)3=

8

27

，
∴乙考生正确完成题数x₂的概率分布列为：

x2	0	1	2	3
P	1 27	2 9	4 9	8 27

（Ⅲ）∵Ex1=1×

1

5

+2×

3

5

+3×

1

5

=2，
Ex₂=0×

1

27

+1×

2

9

+2×

4

9

+3×

8

27

=2，
∴Ex₁=Ex₂，这表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．

∵Dx1=(1-2)2×

1

5

+(2-2)2×

3

5

+(3-2)2×

1

5

=

2

5

，
Dx2=(0-2)2×

1

27

+(1-2)2×

2

9

+(2-2)2×

4

9

+(3-2)2×

8

27

=

2

3

，
∴Dx₁＜Dx₂，这表明x₁的取值比x₂的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．

点评：本题考查概率的计算和分布列的求法，考查利用数学期望和方差分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．解题时要认真审题，注意数学期望和方差在实际问题中的灵活运用．