Question

如图，已知三棱锥O﹣ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求O点到面ABC的距离；
（2）求异面直线BE与AC所成的角；
（3）求二面角E﹣AB﹣C的大小．

Answer 1

解：（1）取BC的中点D，连AD、OD
因为OB=OC，
则OD⊥BC、AD⊥BC，
∴BC⊥面OAD．
过O点作OH⊥AD于H，则OH⊥面ABC，OH的长就是所求的距离．
又BC=2，OD==，
又OA⊥OB，OA⊥OC
∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD
AD==，
在直角三角形OAD中，有OH=
（2）取OA的中点M，连EM、BM，
则EM∥AC，DBEM是异面直线BE与AC所成的角，
易求得EM=，BE=，BM=．
由余弦定理可求得cosDBEM=，∴∠BEM=arccos
（3）连CH并延长交AB于F，连OF、EF．由OC⊥面OAB，得OC⊥AB，又OH⊥面ABC，
所以CF⊥AB，EF⊥AB，则DEFC就是所求的二面角的平面角．
作EG⊥CF于G，
则EG=OH=，
在Rt△OAB中，OF=
在Rt△OEF中，EF=
∴sin∠EFG=
∴∠EFG=arcsin．