Question

已知椭圆G：（a＞b＞0）的离心率，且经过点．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆G交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点T，当m变化时，求△TAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率，且经过点，结论方程组，即可求得椭圆G的方程；
（Ⅱ）直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，进而可表示出三角形的面积，根据椭圆与直线有两个不同的交点，确定m的范围，即可求得△TAB面积的最大值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，解得----（2分）
∴椭圆G的方程为：．----（4分）
（Ⅱ）消去y得：x²+mx+m²-3=0，----（5分）
∵椭圆与直线有两个不同的交点，∴△＞0，即m²＜4，----（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y）
∴x₁+x₂=-m，，
∴，
，，∴----（8分）
设T（t，0），∵MT⊥AB，∴K_ATK_AB=-1，解得，----（10分）
∴，，
∴，
∵0＜m²＜4----（12分）
∴当m²=2即时，△TAB面积最大为----（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确表示三角形的面积是关键．