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    对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则AA1+BB1+CC1≥
    9R
    2
    ”．
    证明如下：
    OA1
    AA1
    +
    OB1
    BB1
    +
    OC1
    CC1
    =
    S△OBC
    S△ABC
    +
    S△OAC
    S△ABC
    +
    S△OAB
    S△ABC
    =1    ，
    即：
    AA1-R
    AA1
    +
    BB1-R
    BB1
    +
    CC1-R
    CC1
    =1    ，即
    1
    AA1
    +
    1
    BB1
    +
    1
    CC1
    =
    2
    R
    ，
    由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1)(
    1
    AA1
    +
    1
    BB1
    +
    1
    CC1
    )≥9    ．∴AA1+BB1+CC1≥
    9R
    2
    ．
    将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则
    AA1+BB1+CC1+DD1≥
    16R
    3
    AA1+BB1+CC1+DD1≥
    16R
    3
    ”．
    分析：由三角形类比四面体，由面积类比体积，结合柯西不等式，即可得到结论．
    解答：解：类比证明方法可得：
    OA1
    AA1
    +
    OB1
    BB1
    +
    OC1
    CC1
    +
    OD1
    DD1
    =
    VO-DBC
    VA-BCD
    +
    VO-ACD
    VA-BCD
    +
    VO-ABD
    VA-BCD
    +
    VO-ABC
    VA-BCD
    =1
    ∴
    AA1-R
    AA1
    +
    BB1-R
    BB1
    +
    CC1-R
    CC1
    +
    DD1-R
    DD1
    =1
    ∴
    1
    AA1
    +
    1
    BB1
    +
    1
    CC1
    +
    1
    DD1
    =
    3
    R

    由柯西不等式，得(AA1+BB1+CC1+DD1)(
    1
    AA1
    +
    1
    BB1
    +
    1
    CC1
    +
    1
    DD1
    )≥16
    ∴AA1+BB1+CC1+DD1≥
    16R
    3

    故答案为：AA1+BB1+CC1+DD1≥
    16R
    3
    ．
    点评：本题考查两边推理，考查学生分析解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    给出下列五个命题：
    ①长度相等，方向不同的向量叫做相反向量；
    ②设
    b
    ，
    c
    是同一平面内的两个不共线向量，则对于平面内的任意一个向量
    a
    ，有且只有一对实数λ1，λ2，使
    a
    =λ1
    b
    +λ2
    c
    ；
    ③
    a
    ∥
    b
    的充要条件是存在唯一的实数λ使
    b
    =λ
    a
    ；
    ④（
    a
    •
    b
    ）
    c
    =
    a
    （
    b
    •
    c
    ）；
    ⑤λ（
    a
    +
    b
    ）•
    c
    =λ
    a
    •
    c
    +λ
    b
    •
    c
    ．
    其中正确命题的个数是                                （　　）

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    科目：高中数学 来源：湖北省荆州市2012届高中毕业班质量检查(Ⅱ)数学理科试题 题型：022

    对于平面内的命题：“△ABC内接于圆⊙O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连结AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则AA1＋BB1＋CC1≥”

    证明如下：

    即：，即

    由柯西不等式，得

    ∴AA1＋BB1＋CC1≥

    将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连结AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则________”

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则数学公式”．
    证明如下：数学公式，
    即：数学公式，即数学公式，
    由柯西不等式，得数学公式．∴数学公式．
    将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则________”．

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年福建省福州三中高三（下）第五次月考数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    对于平面内的命题：“△ABC内接于圆O，圆O的半径为R，且O点在△ABC内，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于A1，B1，C1，则”．
    证明如下：，
    即：，即，
    由柯西不等式，得．∴．
    将平面问题推广到空间，就得到命题“四面体ABCD内接于半径为R的球O内，球心O在该四面体内，连接AO，BO，CO，DO并延长分别与对面交于A1，B1，C1，D1，则    ”．

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