Question

（文科做）函数f（x）=ax³-6ax²+3bx+b，其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）的图象与y=

1

3

f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求得函数的导数，利用函数在某一点处导数的几何意义：f'（2）=-3以及f（2）=5，列方程组求解参数．
（2）由（1）中得到的函数解析式y=f（x）的图象与y=

1

3

f′(x)+5x+m的图象有三个不同的交点，转化为方程
f（x）=

1

3

f′(x)+5x+m有三个不相等的实根，进一步转化为函数g（x）=f（x）-

1

3

f′(x)+5x+m的图象与x轴有三个不同的交点，于是利用函数导数可得新函数g（x）的极值，通过判断极值的符号可得结论．

解答：解：（1）由题意得f'（x）=3ax²-12ax+3b，f'（2）=-3且f（2）=5，
∴

12a-24a+3b=-3 8a-24a+6b+b=5

即

4a-b=1 -16a+7b=5

解得a=1，b=3，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3． （6分）
（2）由f（x）=x³-6x²+9x+3，可得f'（x）=3x²-12x+9，

1

3

f′(x)+5x+m=

1

3

(3x2-12x+9)+5x+m=x²+x+3+m，
则由题意可得x³-6x²+9x+3=x²+x+3+m有三个不相等的实根，
即g（x）=x³-7x²+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点，g'（x）=3x²-14x+8=（3x-2）（x-4），则g（x），g'（x）的变化情况如下表．

x	(-∞， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，4)	4	（4，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

则函数f（x）的极大值为g(

2

3

)=

68

27

-m，极小值为g（4）=-16-m．y=f（x）的图象与y=

1

3

f′(x)+5x+m的图象有三个不同交点，则有：

g( 2 3 )= 68 27 -m＞0 g(4)=-16-m＜0

解得-16＜m＜

68

27

．（12分）

点评：本题考查函数的导数以及导数的几何意义，利用导数求解函数的单调性和极值问题，综合考查了函数的零点，考查了函数与方程的思想，转化与化归的思想．