Question

已知f（x）=ax²+bx+c（a＞0），当|x|≤1时，|f（x）|≤1．
（1）证明|c|≤1；
（2）若a²+b²+4=4a+4b-2ab成立，请先求出c的值，并利用c值的特点求出函数f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）在f（x）=ax²+bx+c（a＞0）中，c=f（0），利用当|x|≤1时，|f（x）|≤1，证出|c|≤1．
（2）将a²+b²+4=4a+4b-2ab变形得到（a+b-2）²=0，得a+b=2，代入|f（1）|≤1，结合-1≤c≤1，利用夹逼的思想求c．进而根据对称性，最值等几何性质确定a，b，得出解析式．

解答：解：（1）∵|x|≤1时|f（x）|≤1，
∴|f（0）|≤1，
∴即|f（0）|=|c|≤1．
（2）由a²+b²+4=4a+4b-2ab得到（a+b-2）²=0，
即a+b=2  ①，
又∵|x|≤1时，|f（1）|≤1，
即-1≤a+b+c≤1，
将a+b=2代入上式得-3≤c≤-1，
又∵-1≤c≤1，∴c=-1．
又f（0）=c=-1，|x|≤1时f（x）≥1，
∴f（x）≥f（0）对|x|≤1均成立．
∴x=0为函数f（x）为对称轴，
∴-

b

2a

=0，解得b=0．
又∵a+b=2，∴a=2，
∴a=2，b=0，c=-1，
∴f（x）=2x²-1．

点评：本题灵活的考查了二次函数图象与性质，以及二次函数和不等式结合，提高了难度．