已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象过点(1,8),f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)证明:当a>3时,函数g(x)=f(x)-f(a)有三个零点.
分析:(1)由题意已知二次函数y=f
1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),设出函数的解析式,然后根据待定系数法求出函数的解析式;
(2)由已知f(x)=f(a),得x
2+
=a
2+
,在同一坐标系内作出f
2(x)=
和f
3(x)=-x
2+a
2+
的大致图象,然后利用数形结合进行讨论求证.
解答:解:(1)由已知,设f
1(x)=ax
2,由f
1(1)=1,得a=1,
∴f
1(x)=x
2.
设f
2(x)=
(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为
A(
,
)B(-
,-
)
由|AB|=8,得k=8,.∴f
2(x)=
.故f(x)=x
2+
.
(2):f(x)=f(a),得x
2+
=a
2+
,
即
=-x
2+a
2+
.
在同一坐标系内作出f
2(x)=
和f
3(x)=-x
2+a
2+
的大致图象,
其中f
2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线,
f
3(x)与的图象是以(0,a
2+
)为顶点,开口向下的抛物线.
因此,f
2(x)与f
3(x)的图象在第三象限有一个交点,
即f(x)=f(a)有一个负数解.
又∵f
2(2)=4,f
3(2)=-4+a
2+
当a>3时,.f
3(2)-f
2(2)=a
2+
-8>0,
∴当a>3时,在第一象限f
3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f
2(x)图象的上方.
∴f
2(x)与f
3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.
因此,函数g(x)=f(x)-f(a)有三个零点.
点评:此题考查了方程根的存在性及其个数的判断,还考查了待定系数法求函数的解析式,综合性比较强,难度比较大.