已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时,函数取得最小值,最小值为-5.
(1)证明:f(1)+f(4)=0;
(2)试求y=f(x),x∈[1,4]的解析式;
(3)试求y=f(x)在[4,9]上的解析式.
(1)证明:∵y=f(x)是以5为周期的周期函数, ∴f(4)=f(4-5)=f(-1), 又y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-f(4),∴f(1)+f(4)=0. (2)解:当x∈[1,4]时,由题意,可设 f(x)=a(x-2)2-5(a≠0),由f(1)+f(4)=0 得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0, 解得a=2,∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4). (3)解:∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数, ∴f(0)=-f(-0),∴f(0)=0, 又y=f(x)(0≤x≤1)是一次函数, ∴可设f(x)=kx(0≤x≤1), ∵f(1)=2(1-2)2-5=-3,f(1)=k·1=k,∴k=-3. ∴当0≤x≤1时,f(x)
练习册系列答案
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