Question

设a∈R，函数f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，若|f（x）|≤2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导，令f′（x）＞0求出函数的增区间，令f′（x）＜0求出函数的减区间；
（II）由（Ⅰ）知，f（x）在[0，2]上的单调性，求得函数的极值，和f（0）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）对函数f（x）求导数，得f'（x）=3x²-2x-1
令f'（x）＞0，解得x＞1，或x＜-

1

3

令f'（x）＜0，解得-

1

3

＜x＜1．
所以，f（x）的单调递增区间为(-∞，-

1

3

)和（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间为（-

1

3

，1）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，
所以，f（x）在[0，2]上的最小值为f（1）=-1+a
由f（0）=a，f（2）=2+a，知f（0）＜f（2）
所以，f（x）在[0，2]上的最大值为f（2）=2+a
因为，当x∈[0，2]时，|f（x）|≤2?-2≤f（x）≤2?

-1+a≥-2 2+a≤2

解得-1≤a≤0，
即a的取值范围是[-1，0]．

点评：考查利用导数研究函数的单调性和函数的最值问题，（Ⅱ）的解答体现 了转化的思想方法，属中档题．