Question

【题目】设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．

（1）求直线AB的方程；

（2）判断A、B、C、D四点是否在同一个圆上？若是求出圆的方程，若不是说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，.

【解析】

（1）利用点差法列式进行化简，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.（2）求得直线的方程，代入椭圆方程，利用根与系数关系以及弦长公式，求得弦长，求得中点的坐标.同理求得弦长，计算到直线的距离，由此计算出

（1）设，，

则有,

依题意，，．

是AB的中点，

，，从而．

又，在椭圆内，

直线AB的方程为，即．

（2）垂直平分AB，直线CD的方程为，即，

代入椭圆方程，整理得①．

又设，，CD的中点为，则，是方程①的两根，

，且，，即中点,

于是由弦长公式可得

将直线AB的方程，代入椭圆方程得,

同理可得．

点M到直线AB的距离为．

，四点共圆，

且原方程为：.