Question

15．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1和g（x）=$\frac{bx-1}{{a}^{2}x+2b}$；
（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x₁，x₂，f（x）=0的两根为x₃，x₄，求使x₁＜x₂＜x₃＜x₄成立的a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为偶函数容易得到b=0，从而得到g（x）=$-\frac{1}{{a}^{2}x}$，从而可判断出g（x）为奇函数；
（2）由方程g（x）=x可以得到a²x²+bx+1=0，而根据该方程有两个不等实根便可得到b²＞4a²，由a＞0，便可得出b＞2a，或b＜-2a，进一步可以求出$-\frac{b}{2a}$的范围，从而可判断出f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）先得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+bx+1=0}\\{a{x}^{2}+bx+1=0}\end{array}\right.$，可设α为x₁，x₂中的一个数，从而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{（α-{x}_{3}）（α-{x}_{4}）＞0}\end{array}\right.$，而根据${x}_{3}+{x}_{4}=-\frac{b}{a}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{1}{a}$便可得到$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{{α}^{2}+\frac{b}{a}α+\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$．这时可讨论a，从而可以化简${α}^{2}+\frac{b}{a}α+\frac{1}{a}＞0$：a＞0时会得到a-a²＞0，可解出0＜a＜1；a＜0时会得到a-a²＜0，可以解出a＜0，这样便可求出a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）为偶函数；
∴f（-x）=f（x）；
即ax²-bx+1=ax²+bx+1；
∴b=0；
∴$g（x）=-\frac{1}{{a}^{2}x}$；
g（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（-x）=g（x）；
∴g（x）为奇函数；
（2）由g（x）=x得，$\frac{bx-1}{{a}^{2}x+2b}=x$；
整理得，a²x²+bx+1=0，该方程有两个不等实根；
∴△=b²-4a²＞0，a＞0；
∴b＞2a，或b＜-2a；
∴$-\frac{b}{2a}＜-1，或-\frac{b}{2a}＞1$；
f（x）的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$；
∴b＞2a时，f（x）在（-1，1）上单调递增，b＜-2a时，f（x）在（-1，1）上单调递减；
（3）由$\left\{\begin{array}{l}{g（x）=x}\\{f（x）=0}\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{x}^{2}+bx+1=0}\\{a{x}^{2}+bx+1=0}\end{array}\right.$；
设α为x₁，x₂中的一个数，则：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{（α-{x}_{3}）（α-{x}_{4}）＞0}\end{array}\right.$；
∵${x}_{3}+{x}_{4}=-\frac{b}{a}，{x}_{3}{x}_{4}=\frac{1}{a}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{{α}^{2}+\frac{b}{a}α+\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$；
①若a＞0，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{a{α}^{2}+bα+1＞0}\end{array}\right.$；
两式联立可得（a-a²）α²＞0；
∴a-a²＞0；
∴0＜a＜1；
②若a＜0，则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}{α}^{2}+bα+1=0}\\{a{α}^{2}+bα+1＜0}\end{array}\right.$；
联立两式得（a-a²）α²＜0；
∴a-a²＜0；
∴a＞1，或a＜0；
∴a＜0；
∴综上得，a的取值范围为（-∞，0）∪（0，1）．

点评 考查偶函数、奇函数的定义及判断过程，一元二次方程实根的个数和判别式△的关系，以及二次函数的对称轴，二次函数的单调性及单调区间，韦达定理，解一元二次不等式．