Question

方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解时k的取值范围（　　）

A．（-∞，-1）∪（0，1）

B．（-∞，-1）∪（1，+∞）

C．（0，1）

D．（-∞，0）∪（0，+∞）

Answer 1

分析：根据对数函数的性质，原方程的解应满足

(x-ak)2=x2-a2    ① x-ak＞0 x2-a2＞0                    ③

②  用k表示出x，x=

a(1+k2)

2k

，代入②，求得k的取值范围即可．

解答：解：由对数性质知，原方程的解x应满足

(x-ak)2=x2-a2    ① x-ak＞0 x2-a2＞0                    ③

②．
若①、②同时成立，则③必成立，
故只需解

(x-ak)2=x2-a2 x-ak＞0

．
由①可得2kxkx=aa（1+k²），④
当k=0时，④无解；当k≠0时，④的解是x=

a(1+k2)

2k

，代入②得

1+k2

2k

＞kk．
若k＜0，则k²＞1，所以k＜-1；若k＞0，则k²＜1，所以0＜kk＜1．
综上，当k∈（-∞，-1）∪（0，1）时，原方程有解．
故选A．

点评：本题考查了对数函数的性质及其定义域，找到关于k的不等式是解决此题的关键．