Question

如图，在棱长为1的正方体中，AP=BP=b（0<b<1），截面PQEF∥,截面PQGH∥.

(Ⅰ)证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；

 (Ⅱ)证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；

(Ⅲ)若与平面PQEF所成的角为45°，求与平面PQGH所成角的正弦值.

Answer 1

解法一：（I）证明：在正方体中，AD′A′D,AD′⊥AB,

又由已知可得PF∥A′D，PH∥AD′,PQ∥AB,

所以   PH⊥PF,PH⊥PQ,

所以   PH⊥平面PQEF.

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直，                            

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，

所以截面PQEF和截面PQCH面积之和是

     ，是定值.                     

（III）解：连结BC′交EQ于点M.因为PH∥AD′,PQ∥AB,

所以平面ABC′D′和平面PQGH互相平行，因此D′E与平面PQGH所成角与

D′E与平面ABC′D′所成角相等.

与（I）同理可证EQ⊥平面PQGH，可知EM⊥平面ABC′D′，

因此EM与D′E的比值就是所求的正弦值.

设AD′交PF于点N，连结EN，由FD=知

因为AD′⊥平面PQEF，又已知D′E与平面PQEF成角，

所以D′E=即，

解得,可知E为BC中点.

所以EM=，又D′E=，

故D′E与平面PQGH所成角的正弦值为.            

解法二：

以D为原点，射线DA、DC，DD′分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz由已知得DF-l-b，

故A（1，0，0），A′（1，0，1），D（0，0，0），D′（0，0，1），P（1，0，b）,Q(1,1,b),E(1,-b,1,0),

F(1-b,0,0),G(b,1,1),H(b,0,1).

（I）证明：在所建立的坐标系中，可得

  

.

因为,所以是平面PQEF的法向量.

因为是平面PQGH的法向量.

因为,所以，

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直                        

（II）证明：因为，所以，

所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形.

在所建立的坐标系中可求得

所以，

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值.                

（III）解：由已知得角,又可得

，

   即

所以,所以D′E与平面PQGH所成角的正弦值为