Question

8．（1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=9x+1，求函数f（x）的解析式；
（2）已知f（x）是二次函数，且f（2-x）-f（x）=0，f（1）=-1，f（0）=0，求函数f（x）的解析式；
（3）已知f（x+1）=x²-2，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）利用复合函数的意义即可求出；
（2）利用待定系数法，即可求函数f（x）的解析式；
（3）令t=x+1，则x=t-1，利用换元法，可得函数解析式．

解答 解：（1）设一次函数f（x）=kx+b（k≠0），
则f（f（x））=f（kx+b）=k（kx+b）+b=k²x+kb+b，
∵f[f（x）]=9x+1，
∴k²x+kb+b=9x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=9}\\{kb+b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
∴f（x）=3x+$\frac{1}{4}$或f（x）=-3x-$\frac{1}{2}$．
（2）f（2-x）-f（x）=0，则函数关于直线x=1对称，
f（1）=-1，设函数为f（x）=a（x-1）²-1，
∵f（0）=0，∴a-1=0，∴a=1，
∴f（x）=（x-1）²-1；
（3）令t=x+1，
则x=t-1，
∵f（x+1）=x²-2，
∴f（t）=（t-1）²-2，
∴f（x）=（x-1）²-2．

点评 本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握复合函数的意义和换元法是解题的关键．