Question

4．已知函数f（x）=cos（x-$\frac{π}{4}$）-sin（x-$\frac{π}{4}$）．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；
（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求cos（2θ+$\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数，由函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，求出f（x）和f（-x）即可证得结论；
（Ⅱ）由已知条件求出$cos（θ+\frac{π}{3}）$，再由θ为第一象限角，求出$sin（θ+\frac{π}{3}）$，然后利用三角函数的诱导公式化简计算即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数．
证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，
f（x）=cos（x-$\frac{π}{4}$）-sin（x-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}cos[（x-\frac{π}{4}）+\frac{π}{4}]=\sqrt{2}cosx$
f（-x）=$\sqrt{2}cos（-x）=\sqrt{2}cosx=f（x）$．
因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数；
（Ⅱ）∵f（θ+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$cos（θ+\frac{π}{3}）=\frac{1}{3}$．
由于θ为第一象限角，故$sin（θ+\frac{π}{3}）=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（2θ+$\frac{π}{6}$）=$cos[2（θ+\frac{π}{3}）-\frac{π}{2}]=sin[2（θ+\frac{π}{3}）]$
=$2sin（θ+\frac{π}{3}）cos（θ+\frac{π}{3}）=2×\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

点评 本题考查了正弦函数的图象，考查了三角函数的化简求值，是中档题．