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已知函数的导函数是处取得极值,且

(Ⅰ)求的极大值和极小值;

(Ⅱ)记在闭区间上的最大值为,若对任意的总有

成立,求的取值范围;

(Ⅲ)设是曲线上的任意一点.当时,求直线OM斜率的最

小值,据此判断的大小关系,并说明理由.

 

【答案】

(Ⅰ)的极大值和极小值分别为4和0 (Ⅱ)

(Ⅲ)

【解析】

试题分析:(I)依题意,,解得

由已知可设,因为,所以

,导函数

列表:

1

(1,3)

3

(3,+∞)

+

0

-

0

+

递增

极大值4

递减

极小值0

递增

由上表可知处取得极大值为

处取得极小值为

(Ⅱ)①当时,由(I)知上递增,

所以的最大值

对任意的恒成立,得,则

因为,所以,则

因此的取值范围是

②当时,因为,所以的最大值

对任意的恒成立,得,∴

因为,所以,因此的取值范围是

综上①②可知,的取值范围是

(Ⅲ)当时,直线斜率

因为,所以,则

即直线斜率的最小值为4 

首先,由,得.

其次,当时,有,所以

证明如下:记,则

所以递增,又

恒成立,即,所以.

考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的极值.

点评:本题考查导数的应用,考查函数极值的求法,考查实数的取值范围的求法,考查两个数比较大小的方法.解题时要认真审题,仔细解答,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.

 

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