Question

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，BD=4

2

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角P-CD-B的大小．

Answer 1

分析：（I）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直．
（II）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可．

解答：解：（I）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0），D（0，4，0），P（0，0，4），
在Rt△BAD中，AD=4，BD=4

2

，
∴AB=4，
所以B（4，0，0），C（4，4，0），
∴

AP

=(0，0，4)，

AC

=(4，4，0)，

BD

=（-4，4，0）
∵

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=0
即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=4，
∴BD⊥平面PAC．
（II）：由（I）得

PD

=(0，4，-4)，

CD

=（-4，0，0）．
设平面PCD的法向量为

n1

=(x，y，z)，则

n1

•

PD

=0，

n1

•

CD

=0，
即

0+4y-4x=0 -4x+0+0=0

解得

x=0 y=z

所以

n1

=(0，1，1)，
因为

AP

=(0，0，1)为平面ABCD的法向量.
设二面角P-CD-B的大小为θ，
依题意可得 cosθ=|

n1 • AP

| n1 |•| AP |

|=

2

2

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用向量的基本运算解决线面共线、空间角与空间距离等问题．