Question

已知点M（-2，0），N（2，0），动点P满足条件．记动点P的轨迹为W．
（Ⅰ）求W的方程；
（Ⅱ）若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
所求方程为：（x＞0）
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x₀，
此时A（x₀，），
B（x₀，-），=2
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，
代入双曲线方程中，得：
（1-k²）x²-2kbx-b²-2=01°
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
解得|k|＞1又=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=（1+k²）x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²
=＞2
综上可知的最小值为2．
分析：（Ⅰ）依题意，点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，由此能求出其方程．
（Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x₀，此时A（x₀，（2）），B（x₀，-），=2，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程中，得（1-k²）x²-2kbx-b²-2=0．依题意可知方程有两个不相等的正数根，由此入手能求出的最小值．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．