Question

14．已知正四面体ABCD，则直线BC与平面ACD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，由此能求出结果．

解答 解：如图，取AD中点E，连结CE，过B作BO⊥CE，交CE于点O，
则∠BCO就是线BC与平面ACD所成角，
设正四面体ABCD的棱长为2，
则CO=$\frac{2}{3}CE$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{4-1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴cos∠BCO=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin∠BCO=$\sqrt{1-\frac{3}{9}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．