Question

（2014•杨浦区一模）定义一种新运算：a•b=

b，(a≥b) a，(a＜b)

已知函数f（x）=（1+

4

x

）•log₂x，若函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点，则k的取值范围为（　　）

A．（1，2]

B．（1，2）

C．（0，2）

D．（0，1）

Answer 1

分析：由新定义可得函数f（x）的解析式，问题等价于函数f（x）与y=k的图象有两个交点，作出函数的图象可得答案．

解答：解：令1+

4

x

=log₂x，可解得x=4，此时函数值为2，
而且当0＜x≤4时，1+

4

x

≥log₂x，当x＞4时1+

4

x

＜log₂x，
故f（x）=（1+

4

x

）•log₂x=

1+ 4 x ，0＜x≤4 log2x，x＞4

，
函数g（x）=f（x）-k恰有两个零点等价于
函数f（x）与y=k的图象有两个交点，
作出函数的图象：
由图象可知，k的取值范围为（1，2）
故选B

点评：本题考查根的存在性即个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．