Question

（2003•海淀区一模）正方形ABCD中，AB=2，E、F分别是边AB及BC的中点，将△AED及△DCF折起（如图），使A、C点重合于A′点，
（Ⅰ）证明：A′D⊥EF；
（Ⅱ）求三棱锥A′-EFD的体积；
（Ⅲ）求A′D与平面DEF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用线面垂直的性质证明AD⊥EF；
（Ⅱ）利用等积法求三棱锥A-EFD的体积；
（Ⅲ）利用直线和平面所成角的定义求值．

解答：证明：（I）∵A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
∴A′D⊥平面A′EF，
∴A′D⊥EF…（4分）
（II）∵A′D⊥平面A′EF，
∴A′D的长为三棱锥D-A′EF的高
∵A′E=A′F=1，EF=

2

，
∴∠EA′F=90°…（6分）
∴VA′-EFD=VD-A′EF=

1

3

S△A′EF•DA′=

1

3

•

1

2

•2=

1

3

…（9分）
（III）取EF中点G，连A′G，DG，∵A′E=A′F=1，∠EA′F=90°，
∴A′G⊥EF且A′G=

2

2

．
又∵A′D⊥EF∴EF⊥平面A′DG，
∴平面DEF⊥平面A′DG…（11分）
作A′H⊥DG于H，得A′H⊥平面DEF，
∴∠A′DG为A′D与平面DEF所成角…（14分）
在直角三角形A′DG中，A′G=

2

2

．A'D=2，
∴tanA′DG=

2

4

…（16分）

点评：本题主要考查线面垂直的性质的应用，以及锥体的体积公式，线面角的求法，考查学生的基本运算能力．