Question

已知：在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，向量

m

=（2

3

sin

B

2

，

3

2

），

n

=（sin（

B

2

+

π

2

），1）且

m

•

n

=3
（1）求角B的大小；?
（2）若角B为锐角，a=6，S_△ABC=6

3

，求b的值．

Answer 1

分析：（1）根据两向量的坐标，利用平面向量的数量积计算

m

•

n

=3，再利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式求得sinB的值，由B为三角形的内角，进而利用特殊角的三角函数值求得B的度数；
（2）根据B为锐角判断出B的值，求出sinB的值，再由a的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，使面积等于已知的面积，进而求得c的值，最后a，c及cosB的值，利用余弦定理求得b的值．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=3，
∴

m

•

n

=2

3

sin

B

2

•sin（

B

2

+

π

2

）+

3

2

=3，即2

3

sin

B

2

cos

B

2

=

3

2

，（2分）
∴sinB=

3

2

，又B为三角形ABC的内角，（4分）?
∴B=

π

3

或 B=

2π

3

；（6分）
（2）∵B为锐角，∴B=

π

3

，
由S=

1

2

acsinB=6

3

，a=6，解得c=4，（9分）
由b²=a²+c²-2accosB=36+16-2×6×4×

1

2

=28，
∴b=2

7

．（12分）

点评：本题属于解三角形的题型，涉及的知识有平面向量的数量积运算，三角形的面积公式，二倍角的余弦函数公式，以及余弦定理的应用．考查了学生分析推理和基本的运算能力．熟练掌握定理及法则是解本题的关键，同时注意角度的范围．