Question

已知数列为其前n项和,计算得S₁=,S₂=,S₃=,S₄=,观察上述结果推测出计算S_n的公式,并用数学归纳法加以证明.

Answer 1

分析：本题以数列为载体,主要考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法.应先通过数列的结构特征进行观察和分析,猜想出S_n的公式,再对S_n的公式用数学归纳法论证.前一部分是基础,后一部分是发展.这种“先猜想,后论证”的题型正是近几年高考的探索性题型,有利于培养创新意识和创造性思维,是热点之一.用数学归纳法证题的关键是如何利用归纳假设.在利用归纳假设进行化简过程中,要时刻瞄准n=k+1时等式右边这一目标.

解：∵分母依次是3,5,7,9的平方数,分子比分母小1,由此猜想.证明如下：

(1)当n=1时,,等式成立；

(2)设当n=k时,等式成立,

即.

则

即当n=k+1时,等式也成立.

根据(1)、(2),可知等式对任何n∈N*都成立.

点评　数学归纳法通常用来证明与正整数有关的命题,它属于完全归纳法,有两个基本步骤：

第一步是起始步,证明当n取第一个值n₀(n₀是使结论成立的最小的正整数)时,结论正确；

第二步是假设步,假设n=k(k∈N*,且k≥n₀)时结论正确,证明n=k+1时,结论也正确.

其中第一步是递推的基础,第二步是递推的依据,两者相辅相成,缺一不可.