Question

如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD是正方形，CC₁=3，CD=2，且∠C₁CB=∠C₁CD=60°．
（1）设，试用表示；
（2）O为四棱柱的中心，求CO的长；
（3）求证：A₁C⊥BD．

Answer 1

解：（1）由，得．
所以，．
（2）O为四棱柱的中心，即O为线段A₁C的中点．
由已知条件，得，，，，．
根据向量加减法得，.
=2²+2²+3²+0+2×3×2×cos60°+2×3×2×cos60°=29．
∴A₁C的长为．
所以．
（3）∵
=2²+2×3×cos60°-2²-2×3×cos60°=0，
∴CA₁⊥BD．
分析：（1）利用空间向量的加法，可得平行六面体的体对角线，可得，再利用与互为相反向量，就可求出．
（2）因为O为四棱柱的中心，所以O为线段A₁C的中点，所以要求CO的长，只需求出A₁C的长即可．利用（1）中所求
，再求模即可．
（3）要证A₁C⊥BD，只需证明=0，即可，根据，，也即是证明=0，再用已知计算即可．
点评：本题考查了用空间向量判断几何中的位置关系．注意和平面向量知识相联系．