Question

已知椭圆E：的一个交点为，而且过点．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A₁，A₂，P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

Answer 1

考点：

圆与圆锥曲线的综合；椭圆的定义；椭圆的标准方程．

分析：

（Ⅰ）解法一：根据椭圆E：的一个交点为，过点，可得a²﹣b²=3，，联立即可求得椭圆E的方程；

解法二：椭圆的两个焦点分别为，利用椭圆的定义，可求椭圆E的方程；

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，﹣1），设P（x₀，y₀），求出，同

设圆G的圆心为，利用，即可得到线段OT的长度；

解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，﹣1），设P（x₀，y₀），求出，，可得，由切割线定理可得线段OT的长度．

解答：

（Ⅰ）解法一：由题意，∵椭圆E：的一个交点为，

∴a²﹣b²=3，①

∵椭圆过点．

∴，②

①②解得a²=4，b²=1，

所以椭圆E的方程为．…（4分）

解法二：椭圆的两个焦点分别为，

由椭圆的定义可得，所以a=2，b²=1，

所以椭圆E的方程为．…（4分）

（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，﹣1），设P（x₀，y₀），

直线PA₁：，令y=0，得；

直线PA₂：，令y=0，得；

设圆G的圆心为，

则r²=，

而，所以，所以，

所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）

解法二：由（Ⅰ）可知A₁（0，1），A₂（0，﹣1），设P（x₀，y₀），

直线PA₁：，令y=0，得；

直线PA₂：，令y=0，得；

则，而，所以，

所以，由切割线定理得OT²=|OM|•|ON|=4

所以|OT|=2，即线段OT的长度为定值2．…（14分）

点评：

本题考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆为综合，考查线段长的求解，认真审题，挖掘隐含是关键．