【题目】不是直角三角形,它的三个角
所对的边分别为
,已知
.
(1)求证: ;
(2)如果,求
面积的最大值.
【答案】(1)见解析;(2)48
【解析】试题分析:(1)由,根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得
,因为
不是直角三角形,所以
,由正弦定理可得
;(2)视
为定点,求出满足
条件下
的轨迹为一个圆,圆心在直
上,当
上升到离直线
最远时面积最大.
试题解析:(1)由,根据正弦定理可得
,
,因为
不是直角三角形,所以
,由正弦定理可得
;
(2)方法一:b=2a.c=12,余弦定理用a表示cosC,表示出sinC,进而用a表示出,求出该函数的最大值.(最费力的做法)
方法二:视A.B为定点,求出满足b=2a条件下C的轨迹为一个圆,圆心在直线AB上,当C上升到离直线AB最远时面积最大。
方法三:利用海伦公式直接将面积表示为a的函数
方法三为最简捷办法,凡只涉及边的面积问题可优先想到海伦公式。
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【题目】已知椭圆C:的离心率为
,点P(1,
)在椭圆C上,直线l过椭圆的右焦点与椭圆相交于A,B两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在x轴上是否存在定点M,使得为定值?若存在,求定点M的坐标;若不在,请说明理由.
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【题目】对在直角坐标系的第一象限内的任意两点,
作如下定义:
,那么称点
是点
的“上位点”,同时点
是点
的“下位点”.
(1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
(2)设、
、
、
均为正数,且点
是点
的上位点,请判断点
是否既是点
的“下位点”又是点
的“上位点”,如果是请证明,如果不是请说明理由;
(3)设正整数满足以下条件:对任意实数
,总存在
,使得点
既是点
的“下位点”,又是点
的“上位点”,求正整数
的最小值.
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【题目】
按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为
元,则他的满意度为
;如果他买进该产品的单价为
元,则他的满意度为
.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为
和
,则他对这两种交易的综合满意度为
.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和
元,甲买进A与卖出B的综合满意度为
,乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和
关于
、
的表达式;当
时,求证:
=
;
(2)设,当
、
分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为
,试问能否适当选取
、
的值,使得
和
同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
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【题目】已知椭圆C中心在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点(1,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△AF2B的面积为,求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程.
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【题目】已知函数.
为实数,且
,记由所有
组成的数集为
.
(1)已知,求
;
(2)对任意的,
恒成立,求
的取值范围;
(3)若,
,判断数集
中是否存在最大的项?若存在,求出最大项;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3
,射线OM:θ=
与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
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【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:
(1)这一组的频数、频率分别是多少?
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。(不要求写过程)
(3) 从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
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