Question

设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f'（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性；
（3）斜率为k的直线与曲线y=f'（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，求证：．

Answer 1

（1）解：f'（x）=lnx+1（x＞0），令f'（x）=0，得．（2分）
∵当时，f'（x）＜0；当时，f'（x）＞0，
∴当时，．
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），．
①当a≥0时，恒有F'（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，令F'（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得；
令F'（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减．
（3）证：．
要证，即证，
等价于证，
令，
则只要证，由t＞1知lnt＞0，故等价于证lnt＜t﹣1＜tlnt（t＞1）（*）．
①设g（t）=t﹣1﹣lnt（t≥1），则，
故g（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，g（t）=t﹣1﹣lnt＞g（1）=0，即t﹣1＞lnt（t＞1）．
②设h（t）=tlnt﹣（t﹣1）（t≥1），则h'（t）=lnt≥0（t≥1），
故h（t）在[1，+∞）上是增函数，
∴当t＞1时，h（t）=tlnt﹣（t﹣1）＞h（1）=0，即t﹣1＜tlnt（t＞1）．
由①②知（*）成立，得证．