Question

已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且椭圆以抛物线y²=16x的焦点为其一个焦点，以双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的焦点为顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点A（-1，0），B（1，0），且C，D分别为椭圆的上顶点和右顶点，点P是线段CD上的动点，求

AP

•

BP

的取值范围．
（3）试问在圆x²+y²=a²上，是否存在一点M，使△F₁MF₂的面积S=b²（其中a为椭圆的半长轴长，b为椭圆的半短轴长，F₁，F₂为椭圆的两个焦点），若存在，求tan∠F₁MF₂的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出抛物线y²=16x的焦点和双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的焦点，就可求出a，c进而求出椭圆的标准方程；
（2）先求出线段CD的方程，设出点P的坐标，找到

AP

•

BP

的表达式．再利用图象求出

AP

•

BP

的取值范围即可．
（3）先利用（1）的结论以及△F₁MF₂的面积求出圆的方程和点M的纵坐标，再把tan∠F₁MF₂的转化为两直线倾斜角的差，利用两角差的正切公式以及点M的坐标与圆的关系求出tan∠F₁MF₂的值即可．

解答：解：（1）因为抛物线y²=16x的焦点和双曲线

x2

16

-

y2

9

=1的焦点分别为（4，0）和（5，0）．
所以a=5，c=4
所以椭圆的标准方程：

x2

25

+

y2

9

=1；
（2）设P（x₀，y₀），则

AP

•

BP

=

x

2 0

+

y

2 0

-1；
CD：3x+5y-15=0（0≤x≤5）
则当OP⊥CD时，取到最小值，即：d1=

|-15|

32+52

=

15 34

34

；
当P在D点时，取到最大值：OD=5
所以：

191

34

≤

AP

•

BP

≤24．
（3）如图所示：
由第一问可知，圆的方程为x²+y²=25．△F₁MF₂的面积S=b²=9．
设M（x，y）．又△F₁MF₂的面积S=b²=9=

1

2

×2×4×y?4y=9，
又F₁（-4，0）F₂（4，0）．设直线MF₂的倾斜角为α，直线MF₁的倾斜角为β，
则tan∠F₁MF₂=tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

y x-4 - y x+4

1+ y x-4 • y x+4

=

8y

x2+y2-16

=

18

25-16

=2．
即tan∠F₁MF₂的值2．

点评：本题是对椭圆，圆，抛物线以及向量等知识的综合考查．在平时做题过程中，圆锥曲线只要出大题，一般多放在最后一题，或倒数第二题，是不易得分的题．