Question

（本小题满分16分）

在直角坐标系xOy中，直线l与x轴正半轴和y轴正半轴分别相交于A，B两点，△AOB的内切圆为圆M．

（1）如果圆M的半径为1，l与圆M切于点C (，1＋)，求直线l的方程；

（2）如果圆M的半径为1，证明：当△AOB的面积、周长最小时，此时△AOB为同一个三角形；

（3）如果l的方程为x＋y－2－＝0，P为圆M上任一点，求＋＋的最值．

 

Answer 1

【答案】

解析：（1）由题可得＝，＝．所以l：y＝＋＋1．

（2）设A(a，0)，B(0，b) (a＞2，b＞2)，则l：bx＋ay－ab＝0．由题可得M (1，1)．

所以点M到直线l的距离d＝＝1，整理得(a－2)(b－2)＝2，即ab－2(a＋b)＋2＝0．于是ab＋2＝2(a＋b)≥，≥2＋，ab≥6＋．当且仅当a＝b＝2＋时，ab＝6＋．

所以面积S＝≥3＋，此时△AOB为直角边长为2＋的等腰直角三角形．

周长L＝a＋b＋≥＋＝(2＋)·≥＝6＋，此时△AOB为直角边长为2＋的等腰直角三角形．

所以此时的△AOB为同一个三角形．

（3）l的方程为x＋y－2－＝0，得A(2＋，0)，B(0，2＋)，：＋＝1，设P(m，n)为圆上任一点，则＋＝1，＋＝2(m＋n)－1，

＋＝1≥，2－≤m＋n≤2＋．

＋＋＝＋－(4＋)(m＋n)＋＝(9＋)－(－2)(m＋n)．

当m＋n＝2－时，＝(9＋)－(－2)( 2－)＝17＋．此时，m＝n＝1－．

当m＋n＝2＋时，＝(9＋)－(－2)( 2＋)＝9＋．此时，m＝n＝1＋．

 

【解析】略