Question

利用存在性命题、全称命题求参数的范围或值：

函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0．

(1)求f(0)的值；

(2)当f(x)＋2＜log_ax，x∈(0，)恒成立时，求a的取值范围．

探究：此命题为全称命题，对x，y赋值有一定的技巧性．另外本题还要对参数a分类讨论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)·x， 　　令x＝1，y＝0得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2． 　　(2)由(1)知f(0)＝－2，所以f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x＋0)－f(0)＝(x＋1)·x．因为x∈(0，)，所以f(x)＋2∈(0，)．要使x∈(0，)时，f(x)＋2＜logax恒成立，显然当a＞1时不可能，所以解得．