Question

已知函数.

（1）写出该函数的单调区间；

（2）若函数恰有3个不同零点，求实数的取值范围；

（3）若对所有恒成立，求实数n的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）单调增区间，  单调递减区间是 

（2）  （3）n的取值范围是

【解析】

试题分析：(1) 由函数的图象 函数的单调递减区间是  

单调增区间是，      

（2）作出直线，

函数恰有3个不同零点等价于函数

与函数的图象恰有三个不同公共点。结合图形

且函数    又  f(0)="1" f(1)=

∴                                    　　　　　　 　 

(3) 解：若要使f (x)≤n²－2bn+1对所有x∈[－1,1]恒成立 

则需 [f(x)]_max≤n²－2bn+1   [f(x)]_max=f(0)=1                    

∴n²－2bn+1≥1即n²－2bn≥0在b∈[－1,1]恒成立

∴y= －2nb+n²在b∈[－1,1]恒大于等于0         　　　　   

∴，∴

∴n的取值范围是  

考点：函数图象的作法；函数的单调性及单调区间；根的存在性及根的个数判断．恒成立问题.

点评：本题考查了函数图象的作法、函数的单调性及函数零点问题，本题的解决过程充分体现了数形结合

思想的作用．