Question

在直角坐标系中任给一条直线，它与抛物线y²=2x交于A、B两点，则

OA

•

OB

的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，表达出两个向量的数量积，即可求

OA

•

OB

的取值范围．

解答：解：设l：x=ty+b代入抛物线y²=2x，消去x得y²-2ty-2b=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2b，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂=t²y₁y₂+tb（y₁+y₂）+b²+y₁y₂=b²-2b
=（b-1）²-1≥-1，
∴

OA

•

OB

的取值范围为[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．

点评：本题主要考查向量的数量积的运算，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．