Question

已知数列满足，前n项和为Sn，Sn=.

（1）求证：是等比数列；

（2）记，当时是否存在正整数m，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）存在，m=4.

【解析】

试题分析：（1）根据，再由已知得，两式相减即可证得是等比数列；（2）由（1）可求得的通项公式，，从而得.显然.由此可知，如果存在满足条件的正整数，则为偶数.所以只需在偶数项中求出最大项.求数列的最大值，需比较相邻项的大小，由此需作差： .根据这个差的符号，即可知道其单调性，从而求出最大项.

试题解析：（1） 相减得故是等比数列。

（2）由（1）可得：，

所以.

，所以.

若存在满足条件的正整数，则为偶数

当即时，

又时

因为

综上，.

∴存在m=4，满足题意.

考点：1、数列；2、不等式.