Question

设有一组圆C_k：（x-k+1）²+（y-3k）²=2k⁴（k∈N^*）．下列四个命题：
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
其中真命题的代号是______（写出所有真命题的代号）．

Answer 1

根据题意得：圆心（k-1，3k），
圆心在直线y=3（x+1）上，故存在直线y=3（x+1）与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系，
圆k：圆心（k-1，3k），半径为

2

k²，
圆k+1：圆心（k-1+1，3（k+1）），即（k，3k+3），半径为

2

（k+1）²，
两圆的圆心距d=

(k-k+1)2+(3k-3k-3)2

=

10

，
两圆的半径之差R-r=

2

（k+1）²-

2

k²=2

2

k+

2

，
任取k=1或2时，（R-r＞d），C_k含于C_k+1之中，选项①错误；
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误；
将（0，0）带入圆的方程，则有（-k+1）²+9k²=2k⁴，即10k²-2k+1=2k⁴（k∈N*），
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
则真命题的代号是②④．
故答案为：②④