Question

6．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边长，且acosB-bcosA=$\frac{3}{5}$c．
（Ⅰ）求$\frac{tanA}{tanB}$的值；
（Ⅱ）若A=60°，求$\frac{absinC}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）△ABC中，由条件利用正弦定理可得sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC．又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，可得$\frac{2}{5}$sinAcosB=$\frac{8}{5}$sinBcosA，由此可得$\frac{tanA}{tanB}$的值．
（Ⅱ）可求tanA=$\sqrt{3}$，由（Ⅰ）得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．利用余弦定理，两角和的正切函数公式即可化简求值．

解答 解：（1）△ABC中，由条件利用正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
可得sinAcosB-sinBcosA=$\frac{3}{5}$sinC．（2分）
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，所以，$\frac{2}{5}$sinAcosB=$\frac{8}{5}$sinBcosA，（5分）
可得$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{sinAcosB}{sinBcosA}=4$．（7分）
（Ⅱ）若A=60°，则tanA=$\sqrt{3}$，得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴$\frac{absinC}{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{sinC}{2cosC}=\frac{1}{2}tanC$=-$\frac{1}{2}$tan（A+B）=$\frac{1}{2}×\frac{tanA+tanB}{tanAtanB-1}$=-$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理，余弦定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．